Basic relations of generalized torsion for an anisotropic cylinder are presented. By introducing stress functions, the problem of determining the stress–strain state of such a cylinder is reduced to finding these functions from a system of two partial differential equations of the 4th and 3rd orders. Using differential transformations, this system is then reduced to two differential equations of the 6th order. To solve the problems, complex potentials of generalized torsion are introduced, which are functions of three generalized complex parameters. Expressions for stresses and displacements in terms of these functions, as well as boundary conditions for determining these complex potentials, are obtained. General representations of these functions for an arbitrary multiply connected cylinder are found. For a cylinder of elliptical cross-section, an exact solution of the problem is obtained using the series method. Using expansions of holomorphic functions into Laurent series and Faber polynomials, and satisfying the boundary conditions by the generalized least squares method, the problem of generalized torsion of a multiply connected cylinder is reduced to an overdetermined system of linear algebraic equations solved by the singular value decomposition method. Cases of pure torsion are considered, when the cylinder has a plane of elastic symmetry perpendicular to its axis, as well as cases of orthotropic and isotropic cylinders.
Приводятся основные соотношения обобщенного кручения анизотропного цилиндра. Введением функций напряжений задача об определении напряженно-деформированного состояния такого цилиндра приведена к определению этих функций из системы двух дифференциальных уравнений в частных производных 4-го и 3-го порядков. Затем дифференциальными преобразованиями указанная система сведена к двум дифференциальным уравнениям 6-го порядка. Для решения задач введены комплексные потенциалы обобщенного кручения, которые являются функциями трех обобщенных комплексных параметров. Получены выражения напряжений и перемещений через эти функции, граничные условия для определения этих комплексных потенциалов. Найдены общие представления этих функций для любого многосвязного цилиндра. Для цилиндра эллиптического сечения методом рядов получено точное решение задачи. С использованием разложений голоморфных функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера и удовлетворением граничным условиям обобщенным методом наименьших квадратов решение задачи об обобщенном кручении многосвязного цилиндра сведено к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений, решаемой методом сингулярного разложения. Рассмотрены случаи чистого кручения, когда цилиндр имеет плоскость упругой симметрии, перпендикулярную к его оси, а также случаи ортотропного и изотропного цилиндров.
[Полный текст статьи отсутствует в исходных данных. Необходимо добавить текст из PDF или другого источника.]